chapitre 1, suite.

c) quotient :

Définition : U et V sont deux fonctions définies sur Du et Dv respectivement.
(u/v)(x) = U(x)/V(x)

U/V est définie pour les x tels que:

- V(x) différent de 0.
- x appartient à Du.
- x appartient à Dv.

3°/ une nouvelle opération : la composition.

a) définition :
soient u & v de fonctions définies sur Du & Dv. la composée de "u suivie de v" est la fonction notée vou (v "rond" u) définie par : vou(x) = V(U(x)).

Son domaine de définition et l'ensemble des réels X telle que
{- x appartienne à Du.
- U(x) appartienne à Dv. }


b)sens de variations d'une fonction composée.

Théorème : soient u & v deux fonctions définies sur Du & Dv de façon que vou existe. (C'est le cas lorsque u(Du) est inclus dans Dv).

- si u est croissante sur Du et v croissante sur U(Du) alors vou croissante.
- si u est décroissante sur Du et v décroissante sur u(Du) alors vou croissante.
- si u est décroissante sur Du et v décroissante sur u(Du) alors vou décroissante.
- si u est croissante sur Du et v décroissante sur u(Du) alors vou décroissante.

Commentaire : si u&v ont le même sens de variations, alors vou(x) est croissante.
si u&v ont des sens de variations contraires, alors vou(x) est décroissante.

Remarques:

*Si v est croissante sur l'ensemble des réels alors vou a même instance de variations que u.
*Si v est décroissante sur l'ensemble des réels alors vou a un sens de variations contraire à u.

4°) Cas particulier des fonctions composées: les fonctions associées:

Ce sont les fonctions du type: x ---> f(x+k) = f°u(x) avec u(x) = x+k
x ---> f(x) + k = u°f(x) avec u(x) = x+k
x ---> k* f(x) = u°f(x) avec u(x) = k*x
x ---> /f(x)/ (valeur absolue de f(x), abs(x)) = u°f(x) avec u(x) = /x/ (valeur absolue de x)

où f est une fonction donnée et k une constante donnée.

Théorème: Soit (o, i ,j) un repère et f une fonction.
* La courbe représentative de x ---> f(x+k) s'obtient à partir de Cf par translation de vecteur u (-k; 0).
*La courbe représentative de x ---> f(x) + k s'obtient à partir de Cf par translation dee vecteur u (0;k).
*La courbe représentative de x ---> abs(f(x)) s'obtient à parti de Cf en remplaçant la partie de Cf en dessous de l'axe des abscisses par sa symétrie et en conservant la partie au dessus de l'axe des abscisse.


Remarques: 1- x---> f(x+k1) +k2 s'obtient à partir de Cf par la translation de vecteur (-k1;k2)
2- x---> k1*f(x+k2) +k3 s'obtient à partir de Ck1f par translation de vecteur (-k2;k3).


5°) Courbes et symétries:

a/ parité - imparité:

Définition:
Dire qu'une fonction est paire signifie que quelque soit x appartenant au domaine de f, on a -x appartenant à Df et f(x) = -f(x).
(Cela suppose que Df est centré sur l'Origine: [-2;2], [-5;5]...)
Donc Cf admet l'axe des ordonnées pour axe de symétrie.
Dire qu'une fonction est impaire signifie que quelque soit x appartenant au domaine de définition de f, -x appartient à Df et f(-x) = -f(x).
Donc: f(0)=0 si 0 appartient à Df et Cf admet l'origine (0;0) pour centre de symétrie.

Exemples: la fonction carré est paire, car f(-x) =-x²=x²=f(x) tandis que la fonction inverse est impaire, car f(-x) = 1/-x =-(1/x)=-f(x).

Remarque: si on sait qu'une fonction est paire ou impaire, il suffit de l'étudier sur R+ et le reste de la courbe s'obtient par symétrie.

b/ Centre de symétrie - Axe de symétrie:

Définition: Une fonction donnée admet pour axe de symétrie la droite d'équation x = c (c appartient à R) Si f(-x+c)=f(x+c).


Définition: Soit f une fonction. Dire que Cf admet le point Oméga de coordonnées (A;B) pour centre de symétrie signifie que f(A-x)+f(A+x)= 2B.

Explication: Si f admet Oméga (A;B) pour centre de symétrie, alors g(x)=f(x+A)-B alors g admet (0;0) pour centre de symétrie cad est impaire:

g(-x)=g(x) f(-x+A)+f(x+A)=2B.

slt je voulais sans vouloir te paraitre moqueur te demander pourquoi ce message ne figure pas dans le sujet approprié car ici le titre "suite[...]" peut faire allusion à un autre chapitre faisant allusion aux suites numériques (je suis impatient de voir ce nouveau sujet etre publier à quand ??)c'est pourquoi je pense que sa place serait bien méritée hors de ce sujet mais c'est sans importance !!