Chapitre 2: Barycentre.

c) Problématique: Où placer la balance pour avoir l'équilibre?
L'image de la problématique se trouve ICI

I) Barycentre de deux points pondérés:

1) Définition et Caractérisations:

Définition: Soient a et b deux réels tels que a b soit différent de 0. On appelle barycentre des points pondérés (A;a) et (B;b) le point G vérifiant a(vecteur GA) b(vecteur GB)=vecteur nul.

Remarque: Physiquement, le point G est le point d'équilibre de la balance AB munie des masses a et b.

Cas particuliers: Si a = 0 (donc b différent de 0) on a alors G=B .

Si le vecteur GA est égal au vecteur -GB, G est le milieu de AB; c'est un isobarycentre.

Propriétés (Caractérisations): Soient a,b tels que a b soit différent de 0.

1- Pour tout point M du plan, a(vecteur MA) b(vecteurMB)=(a b) */ (vecMG).
SI vous n'avez rien compris, cliquez ICI, c'est plus clair!
2- vec(AG) = (b/a b) * vec(AB).
Remarque: La prop 2 permet de trouver aisément le point G.

EXEMPLE: résoudre la problématique:
Le barycentre de (A;50) et B(150).

50(vec GA) 150(vec Gb)= vec nul
200(vec(GA)) 150 vec AB= vec nul
200 vec AG=150 vec AB

vecAG = 150/200 vecAB = 3/4 vecAB

Donc le point g se trouve aux 3/4 de [AB] en partant de A.

Sur notre barre de 8 mètres, Le point d'équilibre se trouve à 6 mètres du poid de 50kg et à 2 mètres du point B.

2) Propriété du barycentre :

Théorème : Le barycentre de deux points reste inchangé lorsque l'on remplace les deux coefficients par des coefficients proportionnels.

Par exemple : soit G. le barycentre de (A, 5x10^-3) et (B,10^-2)
...............................G. est aussi le barycentre de (A,5) et (B,10)
..................................................................et de (A,1) et (B,2)

Théorème :
Soient α et ß, 2 réels tels que : α ß soit différent de 0. Le barycentre de (A,α) et (B, ß) se situe sur la droite (AB).

Plus précisément :
■ Si α et ß sont de même signe, alors G appartient à [AB].
■ Si α et ß sont de signes différents, alors G n'appartient pas à [AB].

Démonstration : soit G le barycentre de (A,α) et (B, ß)

α*vecteur (GA) ß*vecteur (GB) = vecteur nul
donc : vecteur(GA) = ß/α *vecteur(BG).

Définition, propriété :
Le barycentre de deux points affectés du même coefficient non nul, et le milieu de ce segment : c'est l'isobarycentre.

3) Coordonnées du barycentre dans un repère (o;vec(i);vec(j))

Soient A (xA,yA) et B(xB,yB) et G le Barycentre de (A, α) et (B, ß) d'où :

α*vec(GA) ß*vec(GB) = vecteur nul.
vec(GA) = ß/(α ß)*vec(AB)

vec(GA) (xA -xG)............... α*vec(GA) (α(xA -xG))
..............(yA -yG)................................(α(yA -yG))

.............................................ß*vec(GB) (ß (xB -xG))
...........................................................(ß (yB -yG))


α*vec(GA) ß*vec(GB) (α*(xA -xG) ß*(xB -xG))
............................. (α*(yA -yG) ß*(yB -yG))


xG= α*xA ß*xB
. . . . . α ß

yG = α*yA ß*yB
. . . . . . α ß


II) Barycentre de trois points ou plus :
1) Définition et caractérisation.

Définition : on appelle barycentre de trois points pondérés (A,α) (B, ß) (C,Y), le point G défini par : α*vec(GA) ß*vec(GB) Y*vec(GC) = vecteur nul ; avec α ß Y différent de zéro.

caractérisation : dans les conditions de la définition :

1- vec(AG) = ( ß/(α ß Y) )*vec(AB) ( Y/(α ß Y) )*vec(AC)
2- Pour tout point M du plan :
α*vec(MA) ß*vec(MB) Y*vec(MC) = (α ß Y)*vec(MG)

Remarque : À partir de la première formule, on peut retrouver les coordonnées du point G barycentre de (A,α) (B, ß) (C,Y),dans un repère.

G (α*xA ß*xB Y*xC ; α*yA ß*yB Y*yC)
..........α ß Y.........................α ß Y

Remarque : si α = ß = Y, alors on a un isobarycentre. L'isobarycentre de trois points A,B,C est le centre de gravité de ABC.

2) Associativité du barycentre :

En conséquence de la seconde formule de la propriété caractéristique :
« On ne change pas le barycentre de plusieurs points en remplaçant certains d'entre eux par leur barycentre affecté de la somme (non nulle)de leurs coefficients »(Phrase de Mr Berlioux).

Exemple : Le barycentre de (A, - 1), (B, 1) et (C, 2) est aussi le barycentre de (A, - 1) et(G2, 3) où G2 est le barycentre de (B,1) et(C,2).

On peut noter :
Barycentre de :

A	B	C
-1	1	2

est égal à

Barycentre de :

A	G2
-1	3